苦手な人でも理解る因数分解（三次式）

本サイトでは三次式の因数分解を学ぶことができます。

という人向けに解説していきます！

三次式の因数分解の公式

そうです。覚えるのはこのふたつだけです。

でも教科書や参考書には公式として載っている式がもう少しあるはずです。

教科書や参考書には、$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ と $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=(x-y)^3$ があると思います。

これらの公式は覚えなくても大丈夫です。

なぜなら覚えなければならない公式ふたつの $y$ を $-y$ に置きかえることで導くことができるからです。

$x^3-y^3=x^3+(-y)^3=[x+(-y)][x2-x(-y)+(-y)^2]=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ と導くことができ、$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=x^3+3x^2(-y)+3x(-y)^2+(-y)^3$ $=[x+(-y)][x^2-x(-y)+(-y)^2]=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ と導くことができます。

これで覚えなきゃいけない公式が半分に減って、全部覚えてる人よりも圧倒的に数学を理解ることができます。

この公式を理解ることができたところで、例題を解いていきましょう。

例題

解答

(1) $64=4^3$ であることがわかれば一瞬ですね。

公式の $x^3+y^3$ を利用すると答えが出ます。

$x^3+64y^3=x^3+(4y)^3=(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$ となります。

答.$(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$

(2) これも $27=3^3$ であり、$8=2^3$ であることがわかれば簡単です。

これは $x^3+y^3$ から導かれた $x^3-y^3$ の公式に代入すれば簡単です。

$27x^3-8y^3=(3x)^3+(-2y)^3=[3x+(-2y)][9x^2-(3x)(-2y)+4y^2]$

$=(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)$となります。

答.$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)$

(3) はじめはこのような形を見てもあまり公式に代入すると浮かばないと思います。

ですが、浮かぶまで数をこなすしかありません。

公式のポイントとしては、$x^2y$ と $xy^2$ の項（ $x^3$ と $y^3$ 以外の項)が「３」がかけられていることです。

まずは３乗の項、つまり $x^3$と $8y^3$ に着目します。

$8=2^3$ であることに気づければ、$x$ と $2y$ で因数分解できるのでは？と予測できます。

この予測が立ったら、 $x^3$ と $y^3$ の項以外の項が因数分解できる形なのか確認していきます。

$6x^2y=3x(2y)$と$12xy^2=3x(2y)^2$となり因数分解の公式に代入できそうです。

$x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3=(x+2y)^3$となります。

答.$(x+2y)^3$

(4) 今回の式はなかなか複雑そうに見えます。

ですが(3)のように順番にこなしていけば簡単です。

まずは３乗の項を見ていきます。

$27=3^3$、$8=2^3$ であることに気づけば、$3x$ と $2y$ で因数分解できるのでは？と予測できますね。

ですが今回は全部の項が＋ではないことに注意です。ーの項があります。

今回の式は $-8y^3$ となっているので、ーの項の正体は $-2y$ であったことがわかります。

なので、$3x$ と $-2y$ で因数分解していくのだろうと予測して進めます。

３乗の項以外を確認すると、 $-54x^2y=3(3x)^2(2y)$ 、$36xy^2=3(3x)(2y)^2$ となり因数分解の公式に当てはめれそうですね。

$27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3=(3x-2y)^3$ となります。

答.$(3x-2y)^3$

(3)、(4)のように、$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=(x+y)^3$ の公式を使えそうな形をしているときは、$x^3$ と $y^3$ のような３乗の項に着目してから $x$ と $y$ の係数を予測して因数分解を進めていくことがコツです。

まとめ

今回は３次式の因数分解を解説しました。

３次式の公式は複雑なものが多くて、はじめはあまり因数分解が浮かばないと思います。

ですが、根気強く数をこなしましょう。

そうすれば自然とこの公式が活用できるぞ！と浮かんでくるはずです。

問題がもっと欲しい方はＸでＤＭしていただけたら問題と解説をお送りします。

ぜひ待っています！