苦手な人でも理解る数学｜因数分解の応用（二次式）

降べきの順とは、「〇乗の大きい順に前から並べていく」という方法です。

覚えられない人は、〇乗の数字が右に行くにつれて降りていくから降べきの順だと覚えてください。

例としてここでも先ほどの例である、$a^3+a^2b-bc^2+c^3$ を使って②の「最低次数の文字で降べきの順で並べる」を実際にやっていきましょう。

先ほどやった通りに式を見ていくと、$a$ の次数は 3 乗、$b$ の次数は 1 乗、$c$ の次数は 3 乗であり、最低次数の文字は $b$ だとわかります。

なので、今回は $b$ について降べきの順で並べていきましょう。

まず、$b$ がある項とない項に分けましょう。

$b$ がある項は $a^2b$ と $(-bc^2)$ です。

このふたつの項は次数が 1 と同じなので、そのまま前に出して

（ $b^1$ の項 ）→ （ $b$ のない項 ）と並べていきます。

並べると、$a^2b-bc^2+a^3+c^3$ となります。

これが最低次数の文字で降べきの順で並べるということです。

ちなみに、$ac^2-b+bc^2-a$ のように最低次数が $a$ も $b$ も同じときは、自分の好きな方の文字を選んで、その文字を基準に降べきの順で並べていきましょう。

ちなみに好きな文字といっても、最低次数なのは $a$ と $b$ なので、$c$ を基準にしないように気を付けましょう。

このときは、$a$ を基準にとると、$ac^2-a-b+bc^2$、$b$ を基準にとると、$-b+bc^2+ac^2-a$、となります。

例題（応用された因数分解）

解答

(1) まずは ①基本の因数分解の公式が使えないか 確かめます。

式を見たところ、どの公式にも当てはめることができなさそうですよね。

次に ②最低次数の文字で降べきの順に並び替えます。

(1)式では $a$ の次数は 2 , $b$ の次数は 2 , $c$ の次数は 2 とすべての文字の次数の文字が同じになります。

なので、ここでは $a$ で降べきの順に並べていきましょう。

＜次数が２の項＞→＜次数が１の項＞→＜次数が０（定数）の項＞の順に並べていきます。

並び替えていくと、$a^2b+a^2c+ab^2-ac^2$ になるはずです。

ちなみにここでは、$a^2bとa^2c$ 、$ab^2とac^2$ の足し合わせる順番はなんでも大丈夫です。

ですが、＜ $a$ の次数が２の項＞→＜ $a$ 次数が１の項＞は崩さないようにしましょう。

次に③ 同じ次数の項をグループ分けして、最低次数とした文字でくくりましょう。

③をすると、$a^2(b+c)+a(b^2-c^2)$ となります。

最後に ④ くくった③の式を因数分解していきましょう。

式を見てみると、$b^2-c^2=(b+c)(b-c)$ の因数分解の公式が使えそうですよね。

$a^2(b+c)+a(b^2-c^2)=a^2(b+c)+a(b+c)(b-c)$ となります。

ここで、$(b+c)$ の項が共通項として $a^2$ と $a$ の項で持っています。

なのでくくりだしてしまいましょう。

$(b+c)[a^2+a(b-c)]$ となりました。

そしてさっきの式を「どこか共通項がないかな」と考えながら見てみると、［］の中の項に $a$ という文字がくくれそうですね。

くくってみると、$a(b+c)(a+b-c)$ となります。

くくってみてもう一度、「どこか因数分解できるかな」と考えながら見てみます。

もうできなさそうですよね。（できません）

これが解答になります。

答. $a(b+c)(a+b-c)$

(2) (1)と同様に考えながら進めていきましょう。

まずは ① 基本の因数分解の公式が使えないか確かめます。

使えなさそうですよね。しかも文字が多いですね。

できるかどうか不安になるかもしれませんが大丈夫です。

順番通りにやれば、絶対できます。

次に ② 最低次数の項で降べきの順で並び替えます。

今回の式の次数の確認をしていきましょう。

次数は、$a$ は２、$b$ は２、$c$ は１、$d$ は１です。

今回はどの文字でもいいわけではありません。

$c$ と $d$ のどちらか最低次数の文字として選びましょう。今回は $c$ を最低次数の文字とします。

$c$ を基準にして考えると、$a^2bc+ab^2c+a^2bd+ab^2d$ となります。

次に③ 同じ次数の項をグループ分けして、最低次数とした文字でくくります。

③をすると、$c(a^2b+ab^2)+(a^2bd+ab^2d)$ となります。

次に④ くくった③の式を因数分解していきましょう。

まずどこか基礎の因数分解の公式を使えるか確認しましょう。

ないですね。

次に共通項でくくります。

$c(a^2b+ab^2)=abc(a+b)$ とでき、$(a^2bd+ab^2d)=abd(a+b)$ とくくりだすことができました。

今の式は、$abc(a+b)+abd(a+b)$ です。

また因数分解できるか、共通項でくくれるかを考えます。

この式を見ると、$(a+b)$ でくくれそうですよね。

くくってみましょう。

くくってみると、$abc(a+b)+abd(a+b)=(a+b)(abc+abd)$ と因数分解できました。

まだできそうですね。$(abc+abd)$ の $ab$ がくくれそうです。

なので、くくってみると、$ab(a+b)(c+d)$ です。これが答えです。

答. $ab(a+b)(c+d)$

まとめ

みなさん因数分解の応用の考え方は身に付きましたか？

因数分解はほぼパターン化できるので、①から④まで順番に考えて、「因数分解の問題が出たら、得点ができる。」というくらいまで、問題を解きまくりましょう。

最後には「因数分解できるかな」とか「共通項でくくりだせないかな」と考えて確認して、確実に正解できるようにしましょう。

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